Родился в г. Томашове Люблинской губернии в семье военнослужащего. По окончании реального училища в 1903 г. поступил в Петербургский лесной институт. В 1912 г. защитил дипломную работу на звание ученого лесовода 1-го разряда. Ещё студентом начал принимать участие в экспедиционных исследованиях. Сначала под руководством В.Н. Сукачёва по заданию Петербургского общества естествоиспытателей исследовал северную часть Донской области. Затем принимал активное участие в экспедициях Переселенческого управления:
1908 — бассейн р. Чулым, Томская губерния;
1909 — бассейны рек Лены и Киренги, Иркутская губерния.
1912 - поступил на работу в Переселенческое управление и организовал еще 3 экспедиции:
1912 — Якутская область: Якутск – село Усть-Майское;
1913 — Акмолинская область, Петропавловск – Кокчетав – Акмолинск – Атбасар – Петропавловск;
1914 — Иркутская и Якутская области: г. Киренск – р. Нижняя Тунгуска – р. Чона – село Сунтар – р. Лена.
В 1915 г. В.П. перешёл на работу в Лесной департамент, от которого был откомандирован в Ташкент в состав руководства пескоукрепительного округа. С этого момента вся научная и педагогическая деятельность В.П. связана со Средней Азией.
В 1918 г. В.П. перешёл работать сначала преподавателем, а затем (с 1920) профессором в Среднеазиатский университет в Ташкенте, где заведовал кафедрой общей ботаники до 1930 г. С 1930 г. — заведующий кафедрой ботаники Ташкентского сельскохозяйственного института. С образованием Узбекского филиала АН СССР В.П. руководил работами по изучению и освоению дикорастущей флоры, уделяя особое внимание изучению дубильных растений. Все эти годы В.П. активно участвовал в многочисленных экспедициях. Им описано 82 новых вида растений, опубликовано более 90 научных работ. По совокупности научных работ в 1938 г. ему была присуждена степень кандидата биологических наук. В.П. принимал активное участие в написании «Флоры Узбекистана».
В честь В.П. назван целый ряд видов растений: Agropyrum drobovii Nevski, Allium drobovii Vved., Astragalus drobovii M. Pop. et Vved., Hedysarum drobovii Korot., Juniperus (Sabina) drobovii Sumn., Lappula drobovii M. Pop., Roegneria drobovii Nevski, Rumex drobovii E. Kor., Salsola drobovii Botsch.
Многочисленные гербарные сборы В.П. находятся в Гербариях БИН РАН и Узбекистана. В фотоархиве Ботанического Музея хранятся фотографии и негативы В.П. Дробова, сделанные им во время экспедиций Переселенческого управления в Иркутскую губернию и Якутию.