Родился в Царёво-Кокшайском уезде Вятской губернии (ныне Республика Марий Эл). Образование получил в средней сельскохозяйственной школе г. Казани, после окончания которой с 1901 по 1905 г. работал управляющим различными помещичьими имениями. В 1905 г. в связи с крестьянским восстанием, к которому И.В., по его собственному признанию, имел близкое отношение, он был уволен. После этого поступил на геоботанические курсы при Казанском университете, окончив которые, в 1907 г. был приглашён на должность ботаника Переселенческого управления. И.В. участвовал в следующих ботанических экспедициях:
1907–1908 — юг Красноярского края;
1909 — Амгунь-Амурский район;
1910 — Болонь-Одшальский район, низовья р. Амура;
1911–1914 — Красноярский и Енисейский края (Канский, Красноярский, Ачинский, Микусинский уезды).
В эти же годы И.В. состоял младшим консерватором Московского ботанического сада. Участвовал в Первой мировой войне. После возвращения стал заведующим Ольгинским отделением Ботанического сада в Можайском уезде Московской губернии (1919–1928). В 1928–1936 гг. работал ботаником в экспедициях различных дальневосточных организаций.
С 1933 по 1934 г. заведовал совхозом лекарственных растений в Скворицах под Ленинградом. С 1936 по 1937 г. работал в Ботаническом институте (Ленинград).
В 1938–1944 гг. И.В. работал в Наркомземе РСФСР, в качестве начальника геоботанической группы отправился в экспедицию в низовья Оби и на Полярный Урал. Зимой 1944 г. во время пути из Нового Порта (Обская губа) в г. Салехард И.В. тяжело заболел, был отправлен самолетом в больницу Салехарда, где и окончил свой жизненный путь.
За свою жизнь И.В. совершил около 40 ботанических экспедиций, был прекрасным коллектором растений, собрал десятки тысяч гербарных листов. По его сборам В.Л. Комаровым был описан новый вид кустарника Dervilla suavis Kom. Именем И.В. названы 2 вида растений: Astragalus ionae Palib. и Pedicularis kusnetzovii Kom.
Гербарные материалы И.В. хранятся в БИН РАН. В фотоархиве Ботанического Музея хранятся фотографии и негативы И.В. Кузнецова, сделанные им во время экспедиций Переселенческого управления в Сибирь и на Амур.